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ルンゲ=クッタ法でLLG方程式

July 05, 2022





LLG方程式

まず、LLG方程式は

dMdt=−γM×Beff+αMsM×dMdt\dfrac{d \boldsymbol{M}}{dt} = -\gamma \boldsymbol{M} \times \boldsymbol{B}_{eff} + \dfrac{\alpha}{M_s} \boldsymbol{M} \times \dfrac{d\boldsymbol{M}}{dt}

と表せられる磁場中での磁気モーメントの歳差運動を示す微分方程式です。これをルンゲ=クッタ法を用いて微分方程式を数値的に解いて行きます。 lLG方程式の右辺のdMdt\dfrac{d \boldsymbol{M}}{dt}に

ルンゲ=クッタ法

ルンゲ=クッタ法は常微分方程式を数値的に解いていく方法で、オイラー法よりも誤差が少ないです。常微分方程式を

dydx=f(x,y)\dfrac{dy}{dx}=f(x,y)

として表すとき、

yi+1=yi+16(k1+2k2+2k3+k4)k1=hf(xi,yi)k2=hf(xi+h2,yi+k12)k3=hf(xi+h2,yi+k22)k4=hf(xi+h,yi+k3)\begin{aligned} y_{i+1} &= y_i + \dfrac{1}{6}(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4) \\ k_1 &=hf(x_i , y_i) \\ k_2 &=hf \left( x_i + \dfrac{h}{2}, y_i + \dfrac{k_1}{2} \right) \\ k_3 &=hf \left( x_i + \dfrac{h}{2}, y_i + \dfrac{k_2}{2} \right) \\ k_4 &=hf(x_i + h, y_i + k_3) \\ \end{aligned}

として、yyを更新していくことで微分方程式を解けます。

ルンゲクッタ法でLLG方程式を解く

LLG方程式の常微分方程式は上述した通り、

dMdt=−γ1+α2M×Heff−γα(1+α2)MsM×(M×Heff)\dfrac{d \boldsymbol{M}}{dt} = -\dfrac{\gamma}{1+\alpha^2} \boldsymbol{M} \times \boldsymbol{H_{eff}} -\dfrac{\gamma \alpha}{(1+\alpha^2)M_s} \boldsymbol{M} \times \left( \boldsymbol{M} \times \boldsymbol{H_{eff}} \right)

ですが、直行座標系で回転を扱うと、誤差が生じるので、磁化のベクトルと、有効磁場のベクトルを極座標に直します。

ですので、ルンゲ=クッタ法で解く場合、

d　Mdt=f(M,t)f(M,t)=−γ1+α2M×Heff−γα(1+α2)MsM×(M×Heff)\dfrac{d　\boldsymbol{M}}{dt}=f(\boldsymbol{M},t) \\ f(M,t)=-\dfrac{\gamma}{1+\alpha^2} \boldsymbol{M} \times \boldsymbol{H_{eff}} -\dfrac{\gamma \alpha}{(1+\alpha^2)M_s} \boldsymbol{M} \times \left( \boldsymbol{M} \times \boldsymbol{H_{eff}} \right)

となるため、